Número Hiperreal

Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.

Índice 1 I Historia 2 II Axiomática moderna 3 III Aplicaciones 3.1 Continuidad puntual y uniforme 3.2 Límites 3.3 Valores de adherencia 3.4 Integrales 3.5 Compacidad 3.6 Derivada 3.7 Ecuación diferencial

[escribe] I Historia

El concepto de número hiperreal proviene del análisis no estándar, dominio que fue desarrollado en los años 70 por Abraham Robinson.
El análisis no estándar pretende, y logra, justificar rigurosamente el empleo de números infinitos e infinitesimales. Estos números, llamados hiperrreales ya fueron empleados por los matemáticos griegos, pero eso sí, de un modo totalmente intuitivo.
Para ellos, una longitud a era infinitesimal comparada con b si multiplicándola por cualquier entero nunca se lograría superar a b: 2a, 3a, 4a ... 1000a ...n·a ... son todos inferiores a b (con n un entero cualquiera). Esta definición es la negación misma de la propiedad fundamental que dice que el conjunto de los números reales es arquimediano.

Entre el renacimiento y el siglo XVIII se volvió a utilizar los infinitesimales y Gottfried Leibniz propuso una teoría, construida a partir de un número infinito «mayor que todos enteros existentes». Esta teoría no tenía fundamentos lógicos sólidos, pero permitía hacer los cálculos que necesitaban los físicos, sobre todo en las ecuaciones diferenciales.
Se siguió empleando los infinitesimales hasta bien entrado el siglo XVIII, cuando se inventó y perfeccionó la teoría de los límites, que los hizo inútiles. El precio de este rigor fue un formalismo pesado y poco intuitivo, aunque más productivo.
Se soñó en los siglos XIX y XX con inventar unas matemáticas que dejarían cabida para los añorados números infinitos (grandes o pequeños).
La tentación era siempre añadir estas cantidades mal definidas al conjunto de los números reales, pero el problema era que se tenía entonces que averiguar si los teoremas vigentes en los reales eran o no válidos para los hiperreales. Y naturalmente, nunca se logró.
Porque no era el método adecuado.

[escribe] II Axiomática moderna

La idea para salir de este callejón fue la siguiente: Para añadir los hiperreales, no hay que tocar la construcción de los conjuntos de números, sino el lenguaje lógico que sirve de fundamento para esa construcción. Esto no fue posible hasta que se formalizara completamente la teoría de los conjuntos numéricos con los axiomas de Zermelo-Fraenkel. Luego se tuvo que esperar un teorema de compacidad en el dominio de la lógica para tener el derecho de añadir axiomas a una teoría sin que ésta perdiera consistencia;
Concretamente, Robinson inventó un nuevo predicado unario: "estándar" y de ahí se presenta dos casos: un número x es estándar o no lo es.

Un poco de vocabulario:

Una propiedad o proposición es interna si se puede expresar en la teoría de Zermelo-Fraenkel, es decir si no requiere la palabra estándar o una de sus derivadas para definirse. Se emplea también la palabra estándar para cualificar a una fórmula interna lo que puede provocar confusión: una fórmula es estándar si no contiene la palabra estándar...

Una fórmula es externa cuando no se puede escribir sin emplear la palabra estándar o una de sus derivadas.

Luego se impuso tres condiciones a este predicado (llamadas transferencia, idealización y estandarización) para asegurarse de la existencia de nuevos números, no estándares, con las propiedades adecuadas, dignas de infinitesimales e infinitos.
Veámoslo más en detalle:
La propiedad de transferencia es la siguiente:

• Si para cualquier x estándar, P(x) es cierto (P es una proposición interna) entonces P(x) es cierto para cualquier x (sea o no estándar):

Está propiedad significa que todas la reglas clásicas, que son ciertas en las matemáticas usuales se generalizan sin cambio alguno a los objetos no estándares. O sea, no hay que demostrarlas de nuevo.
Por ejemplo, sea P(x) la proposición: x > 0 y existe y tal que 0 < y < x. Sabemos que P(x) es siempre cierta en los reales usuales (para y basta con tomar x/2). P es además una proposición interna. En consecuencia, P es válida también para todos los reales no estándares.
La transferencia se emplea a menudo bajo su forma contrapuesta:


Lo que se puede parafrasear así: si existe un elemento que verifique una propiedad interna, entonces existe un elemento estándar que también lo verifique.
La propiedad de idealización es la siguiente (con P una proposición interna):

• Si para todo x estándar existe un y tal que P(x,y) sea cierta, entonces existe un y tal que para todo x estándar, P(x,y) sea cierta:

Se ha permutado los x y los y, y el nuevo y es ideal en el sentido que funciona con todos los x.
Por ejemplo, tomemos el P anterior: P(x,y) significa: 0 < y < x. Sabemos que para cualquier x>0 estándar, existe un y entre él y 0, por lo tanto debe existir un y ideal que sea siempre entre 0 y cualquier x > 0 estándar. En otras palabras, existe un número distinto de cero pero inferior a cualquier real positivo. Este número es por definición un infinitesimal, y se denota su naturaleza así: (ó y ~ 0 por facilidad tipográfica).

De la misma manera se demuestra que existen números infinitos (que no tienen nada que ver con los ordinales infinitos o los cardinales infinitos): Para todo x estándar existe un y mayor (por ejemplo x + 1 ), luego existe un y ideal mayor que todos los x estándares: es por definición un número infinito, lo que se denota (ó y ~ ∞ por facilidad tipográfica).
La propiedad de la estandarización es técnica, y de poco interés de momento.
En la figura siguiente se ha representado la recta de los hiperreales a tres escalas distintas: ω es un número infinito cualquira y ε es un infinitesimal, también cualquiera. Ambos son positivos.
Para pasar de una línea a la siguiente agrandamos la escala de un factor infinito. En la primera línea, los números finitos no se pueden distinguir porque están todos infinitamente próximos al cero, como pegados. En la segunda son los infinitesimales que no se pueden vislumbrar, y los infinitos están logicamente a una distancia infinita del cero.

Los infinitos de esta teoría no tienen nada que ver con los inventados por Georg Cantor, en el contexto de los ordinales y los cardinales. (ver números infinitos). En efecto Cantor, que inventó (en Occidente) la noción de número infinito sólo se interezó en los enteros, mientras que el análisis no estándar se ocupa de los reales. Si ω designa el primer infinito de Cantor, entonces y

simplemente no tienen significado en su teoría.
Para todo número finito existe una única descomposición en suma de un estándar y de un infinitesimal. La parte estándar del numero x se llama su sombra y se denota °x: x = °x + ε, con

.
El interés de la sombra es de evacuar todos los infinitesimales de un resultado, cuando se sabe que éste es estándar.
La sombra verifica algunas propiedades naturales como:

• °(x + y) = °x + °y,
• °(λx) = λ°x si λ es estándar (son propiedades de linealidad),
• en particular °(-x) = -°x,
• y más generalmente °(xy) = °x°y y °(x/y) = °x/°y .

Se denomina halo de x, h(x), el conjunto de los números infinitamente próximos a x estándar. En otras palabras el halo de x es el conjunto de los elementos cuya sombra es x. Esta denominación inspirada de la fotografía y de la astronomía (intuitivamente, no se puede separar un elemento de su halo) permite expresar propiedades elementales (x ~ y ) en términos de entornos ( h(x) = h(y) ). De hecho, h(x) es una vecindad infinitesimal abierta de x, y obviamente no es estándar.
Se define también el halo de un conjunto como la reunión de los halos de sus elementos y se lo denota de la misma manera. Luego x ε h(A) equivale a °x ε A.

[escribe] III Aplicaciones

[escribe] Continuidad puntual y uniforme

Para ver el beneficio que se puede sacar del análisis no estándar, comparemos la expresión de la continuidad (puntual) en el punto x:
expresión clásica :

0 \ \ \exists \alpha >0\ \forall y \ ( \left | y-x \right | < \alpha \Longrightarrow \left | f(y)-f(x) \right | < \epsilon ) " src="http://enciclopedia.us.es/images/math/2/7/c/27c24fd10b7f39dd2bf61e4700746988.png">
expresión en análisis no estándar :


La fórmula no estándar resulta mucho más intuitiva y práctica. En general, los números hiperreales permiten suprimir muchos cuantificadores, es decir bajar la complejidad de las fórmulas.
Prueba de la equivalencia:
La expresión clásica es de la forma con P una proposición estándar (con tal de que f sea una función estándar también). Entonces, por transferencia equivale a .
P(ε) es de la forma α Q(α, ε). Por transferencia también, equivale a α Q(α, ε).
Hasta aquí se ha obtenido la equivalencia entre (1) y :

0 \ \ \exists^{st} \alpha >0\ \forall y \ ( \left | y-x \right | < \alpha \Longrightarrow \left | f(y)-f(x) \right | < \epsilon ) " src="http://enciclopedia.us.es/images/math/3/6/f/36fdd43c3b14edb3419edea4135b7e85.png">
Ahora, por definición cualquier infinitesimal es inferior a α y ε que son estándares estrictamente positivos. Luego si x y entonces |y - x | 0 luego |y - x | < α.

Por la implicación de (1') se obtiene |f(y) - f(x)| < ε. Como esto es cierto para cualquier ε >0 estándar, entonces |f(y) - f(x)| es infinitesimal, lo que significa que f(y)f(x) Acabamos de probar que (1') implica (2).
La recíproca es muy parecida: Supongamos (2), y escojamos ε >0 estándar. Entonces cualquier infinitesimal α conviene en (1):
Si |y - x| < α 0 entonces y x luego por (2): f(y) f(x) entonces |f(y) - f(x)| 0 y por tanto |f(y) - f(x)| < ε.

Por transferencia también existe un α estándar que conviene, lo que da (1').
La continuidad en todo R equivale (por transferencia) a la continuidad en todos su s estándares:



La continuidad uniforme sobre el intervalo I = R se expresa así:

0 \ \forall x \ \exists \alpha >0\ \forall y \ ( \left | y-x \right | < \alpha \Longrightarrow \left | f(y)-f(x) \right | < \epsilon ) " src="http://enciclopedia.us.es/images/math/3/4/f/34f2487ccc10119cf8e2b7839d34bad0.png">
expresión en análisis no estándar :


La única diferencia entre (3) y (5) es que en la continuidad uniforme x no tiene que ser estándar. No son equivalentes porque no se puede aplicar la transferencia aquí: los hacen que no se trata de una fórmula estándar.

Consideremos la función f:
Para mostrar su continuidad, tomemos x estándar, y por lo tanto finito, e y = x + ε con infinitesimal. (luego ).
Entonces porque 2x + ε es un número finito que, multiplicado por un infinitesimal, ε da un infinitesimal. Esto demuestra la continuidad.
Pero f no es uniformemente continua: si tomemos esta vez un x infinito: x = ω y infinitesimal, entonces :
. No existe prueba más sencilla.

[escribe] Límites

El límite de una sucesión es un caso particular del límite de una función real, noción formalmente muy parecida a la continuidad. De hecho la topología permite interpretar el límite como la continuidad en el infinito. Por esto, el análisis no estándar permite simplificar su definición de la misma manera que con la continuidad, y las demostraciones son esencialmente las mismas.
Sea una sucesión (estándar) convergente hacia l eventualmente infinito.
La expresión clásica de es, para l finito:

0, \ \exists N \in \mathbb{N} , \forall n \ ( (n > N) \Longrightarrow (|u_n - l| < \epsilon )" src="http://enciclopedia.us.es/images/math/6/b/c/6bcfb5503d6178d91765e6a8fd1e2a58.png"> Para

:
N) \Longrightarrow (u_n > A )" src="http://enciclopedia.us.es/images/math/a/0/4/a04ed5921782d41149b6038d97e6dc30.png"> Y Para

:
N) \Longrightarrow (u_n < src="http://enciclopedia.us.es/images/math/4/1/7/41746a10bdda1feecfe3e0f89f270a42.png">
La expresión no estándar es, para cualquier l, finito o no:


Esta formula significa que cualquier término de rango infinito da el límite de la sucesión: si es infinito, el límite también lo será, con el mismo signo, y si es finito, el límite, por ser estándar y equivalente al término , es su sombra:




Ejemplo: sea la sucesión u definida por

. Tomemos

. Sabemos que su límite es 2, y lo vamos a evidenciar escribiendo de la forma 2 + ε con ε infinitesimal.
. Como

, luego

, y

, luego 2 es el límite.

[escribe] Valores de adherencia

Para las sucesiones que no convergen, las sombras de los elementos de rango infinito dan los valores de adherencia de las mismas, que son los límites de subsucesiones: , con φ una función estrictamente creciente de N.
Primer ejemplo
Sea v_n = (-1) ⁿ, la sucesión 1, -1, 1, -1, 1, -1 ...
Sus valores de adherencia son , límite de los términos de rangos pares, y él de los impares.

Ahora, cuando n = ω

es par, °(u_ω) = °(1) = 1 y cuando ω es infinito impar, °(u_ω) = °( − 1) = − 1.
Segundo ejemplo
Un ejemplo menos evidente: Sea w_n = cos n. La función coseno está acotada por -1 y 1. Lo sorprendente es que todos los elementos del intervalo [0; 1] son valores de adherencia, lo que no se demuestra muy facilmente en el análisis clásico, pero bastante bien con los hiperreales:
Con el algoritmo de las fracciones continuas (llevado hasta valores infinitos de n) se muestra que cualquier irracional es la sombra de una cociente de enteros infinitos. En particular . Luego y por tanto n - 2kπ 0. Notemos ε = n - 2kπ.

Sea x un elemento cualquiera de [-1; 1]. Existe un real a de [0; π] tal que cos a = x. Buscamos un n' entero infinito cuyo coseno es infinitamente próxima a cos a: cos n' cos a. Esto equivale a , con cierto k' entero. Lo que se obtiene a partir de la relación n - 2kπ = ε multiplicándola por la parte entera de a/ε : mn - 2kmπ = mε, porque:
implica luego , y finalmente n' - 2k'π a , con n' = mn y k' = mk.

[escribe] Integrales

Es usual hoy en día definir las integrales a partir de las primitivas. Esto hace que se olvide a menudo que una integral corresponde a un área (algebraica) , y que ésta se puede calcular sin conocer primitivas. Menos mal, porque en algunos casos no existe primitiva (que se pueda expresar con funciones conocidas), mientras que el área se puede medir. El ejemplo más conocido es la función de mucha importancia en las estadísticas (está relacionada con la curva en "campana" de Gauss).
El método es entonces descomponer el área en pequeños rectángulos y sumar las extensiones de éstos, lo que da las sumas de Darboux:

con f una función continua por trozos.
Luego, el análisis no estándar permite decir que:
Un ejemplo: se descubrió muy antes de inventar las primitivas que la suma de los cubos era el cuadrado de la de los enteros:

Esto permite calcular la integral de x³:

[escribe] Compacidad

En un espacio métrico, los compactos son los conjuntos cerrados y acotados. A través de la función distancia, el espacio recibe una estructura real que se puede completar a los reales no estándares.
Entonces:


Es decir que los compactos son los conjuntos incluidos en sus halos
En efecto, h(A) por definición no puede contener elementos infinitos, así que A, incluido en h(A), tampoco.
Por otra parte A es cerrado, y por tanto su complementario ^cA es abierto, lo que implica que contiene su halo: h(^cA) c ^cA. Tomando los complementarios se invierte el sentido de la inclusión.
Por ejemplo si A es el intervalo abierto ]0;1[, entonces h(A) no contiene los infinitesimales positivos que sí están en A.

[escribe] Derivada

La derivada en un punto de una función viene dada por el límite de la tasa de variación:

y se expresa por tanto en análisis no estándar como la sombra de la tasa correspondiente a una variación infinitesimal:

con

.
La función es derivable en el punto a si esta sombra no depende del infinitesimal no nulo ε escogido, lo que equivale a decir que el límite existe.

[escribe] Ecuación diferencial

El dominio de las ecuaciones diferenciales es él que más provecho puede sacar del análisis no estándar. En efecto, el empleo de infinitesimales, además de ser obviamente natural en este contexto, permite cambios de escalas (microscópicas o macroscópicas) que facilitan el estudio de las soluciones de estas ecuaciones.
Por otra parte, los infinitesimales permiten percibir comportamientos límites ocultos por el efecto mariposa: al cambiar un poco las condiciones iniciales, la función solución se dispara y al cabo de poco tiempo su comportamiento cambia por completo. Esta extrema sensibilidad a las condiciones iniciales impiden el estudio teórico y sólo puede ser contrarrestada considerando perturbaciones inifitesimales de las condiciones iniciales, porque sus consecuencias serán también siempre infinitesimales.



Autor: M.Romero Schmidtke